【题目】O为等边△ABC所在平面内一点,若△OAB、△OBC、△OAC都为等腰三角形,则这样的点O一共有( )
A. 4B. 5C. 6D. 10
【答案】D
【解析】
本题利用了等边三角形是轴对称图形,三条高所在的直线也是对称轴,也是边的中垂线.
在等边△ABC中,三条边上的高交于点O,
由于等边三角形是轴对称图形,三条高所在的直线也是对称轴,也是边的中垂线,点O到三个顶点的距离相等,△ADB,△BOC,△AOC是等腰三角形,则点O是满足题中要求的点,
高与顶角的两条边成的锐角为30°,以点A为圆心,AB为半径,做圆,延长AO交圆于点E,
由于点E在对称轴AE上,有EC=EB,AE=AC=AB,△ECB,△AEC,△ABE都是等腰三角形,点E也是满足题中要求的点,
作AD⊥AE交圆于点D,则有AC=AD,AD=AB,即△DAB,△ADC是等腰三角形,点D也是满足题中要求的点,同理,作AF⊥AE交圆于点F,则点F也是满足题中要求的点;
同理,以点B为圆心,AB为半径,做圆,
以点C为圆心,AB为半径,做圆,都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求,
于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形.
故选:D.
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【题目】将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE,ED的延长线与BC相交于点F,连接AF、EC.
(1)如图,若∠BAC=α=60°.
①证明:AB∥EC;
②证明:△DAF∽△DEC;
(2)如图,若∠BAC<α,EF交AC于G点,图中有相似三角形吗?如果有,请直接写出所有相似三角形.
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【题目】如果一个正整数m能写成m=a2﹣b2(a、b均为正整数,且a≠b),我们称这个数为“平方差数”,则a、b为m的一个平方差分解,规定:F(m)=.
例如:8=8×1=4×2,由8=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),可得或.因为a、b为正整数,解得,所以F(8)=.又例如:48=132﹣112=82﹣42=72﹣12,所以F(48)=或或.
(1)判断:6 平方差数(填“是“或“不是“),并求F(45)的值;
(2)若s是一个三位数,t是一个两位数,s=100x+5,t=10y+x(1≤x≤4,1≤y≤9,x、y是整数),且满足s+t是11的倍数,求F(t)的最大值.
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【题目】
如图,△ABC中,AC=BC=10,cosC=,点P是AC边上一动点(不与点A、C重合),以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D,过点D作DE⊥CB于点E.
(1)当⊙P与边BC相切时,求⊙P的半径.
(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围.
(3)在(2)的条件下,当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.
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【题目】母亲节前夕,某淘宝店主从厂家购进A、B两种礼盒.已知A、B两种礼盒的单价比为2:3,单价和为200元;
(1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元?
(2)该店主进这两种礼盒花费不超过9720元,B种礼盒的数量是A种礼盒数量的2倍多1个,且B种礼盒的数量不低57个,共有几种进货方案?
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【题目】如图,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC=,点 M 在 AC 上,且 AM=AC,连接并延长 BM 交 AD 于点 N.
(1)求证:△ABC∽△AMB;
(2)求 MN 的长.
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【题目】如图,抛物线交x轴于点,交y轴于点B,对称轴是直线.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠BAD.
(1)问题发现:如图1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,求证:AD+AB=AC;
(2)思考探究:如图2,若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉,则(1)中的结论是否仍成立?请说明理由;
(3)拓展应用:如图3,若∠DAB=90°,AD=2,AB=3,求线段AC的长度.
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