Question

【题目】如图1，矩形铁片ABCD的长为2a，宽为a； 为了要让铁片能穿过直径为 的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）；
（1）如图2，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，若将矩形铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ， ①则此时铁片是什么形状；
②给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；

（2）如图3，过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；
①当BE=DF= 时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由；
②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE的长度的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）①菱形，

②如图，过点M作MG⊥NP于点G，

∵M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，

∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ，

∴MN=NP=PQ=QM，

∴四边形MNPQ是菱形，

∵ ，

MN= ，

∴MG= ，

∴此时铁片能穿过圆孔；

（2）①如图，过点A作AH⊥EF于点H，过点E作EK⊥AD于点K，

显然AB= ，

故沿着与AB垂直的方向无法穿过圆孔，

过点A作EF的平行线RS，故只需计算直线RS与EF之间的距离即可，

∵BE=AK= ，EK=AB=a，AF= ，

∴KF= ，EF= ，

∵∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK，

∴△AHF∽△EKF，

∴ ，可得AH= ，

∴该直角梯形铁片不能穿过圆孔；

② 或 ．

【解析】（1）利用四条边相等的四边形为矩形来判定四边形为菱形，然后利用面积相等来求得菱形一边的高，与已知数据比较后判断是否能通过．（2）利用两三角形相似得到比例线段，进而求出点A到EF的距离，然后与已知线段比较，从而判定能否通过．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与圆的三种位置关系的相关知识，掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．