Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y＝x＋5经过D、M两点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)连接AM、AC、BC，试比较∠MAB和∠ACB的大小，并说明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵CD∥x轴且点C(0，3)， 　　∴设点D的坐标为(x，3)． 　　∵直线y＝x＋5经过D点， 　　∴3＝x＋5．∴x＝－2． 　　即点D(－2，3)． 　　根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M(－1，y)， 　　又∵直线y＝x＋5经过M点， 　　∴y＝－1＋5，y＝4．即M(－1，4)． 　　∴设抛物线的解析式为． 　　∵点C(0，3)在抛物线上，∴a＝－1． 　　即抛物线的解析式为．　3分 　　(2)作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N． 　　由(1)中抛物线可得 　　点A(－3，0)，B(1，0)， 　　∴AB＝4，AO＝CO＝3，AC＝． 　　∴∠PAB＝45°． 　　∵∠ABP＝45°，∴PA＝PB＝． 　　∴PC＝AC－PA＝． 　　在Rt△BPC中，tan∠BCP＝＝2． 　　在Rt△ANM中，∵M(－1，4)，∴MN＝4．∴AN＝2． 　　tan∠NAM＝＝2． 　　∴∠BCP＝∠NAM． 　　即∠ACB＝∠MAB．　8分