Question

2．已知x₁，x₂ 是关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两实数根．
（1）若（x₁-1）（x₂ -1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x₁，x₂恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

Answer 1

分析 1）根据判别式的意义可得m≥2，再根据根与系数的关系得x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²+5，接着利用（x₁-1）（x₂ -1）=28得到m²+5-2（m+1）+1=28，解得m₁=6，m₂=-4，于是可得m的值为6；
（2）分类讨论：若x₁=7时，把x=7代入方程得49-14（m+1）+m²+5=0，解得m₁=10，m₂=4，当m=10时，由根与系数的关系得x₁+x₂=2（m+1）=22，解得x₂=15，根据三角形三边的关系，m=10舍去；当m=4时，x₁+x₂=2（m+1）=10，解得x₂=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x₁=x₂，则m=2，方程化为x²-6x+9=0，解得x₁=x₂=3，根据三角形三边的关系，m=2舍去．

解答 解：（1）根据题意得△=4（m+1）²-4（m²+5）≥0，解得m≥2，
x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²+5，
∵（x₁-1）（x₂ -1）=28，即x₁x₂-（x₁+x₂）+1=28，
∴m²+5-2（m+1）+1=28，
整理得m²-2m-24=0，解得m₁=6，m₂=-4，
而m≥2，
∴m的值为6；
（2）∵x₁，x₂恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰△ABC的一边长为7，
∴x=7必是一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的一个解，
把x=7代入方程得49-14（m+1）+m²+5=0，
整理得m²-14m+40=0，解得m₁=10，m₂=4，
当m=10时，x₁+x₂=2（m+1）=22，解得x₂=15，而7+7＜15，故舍去；
当m=4时，x₁+x₂=2（m+1）=10，解得x₂=3，则三角形周长为3+7+7=17；
若x₁=x₂，则m=2，方程化为x²-6x+9=0，解得x₁=x₂=3，则3+3＜7，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．