Question

3．如图，直线y=kx与双曲线y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$在一三象限分别交于A、B两点，等边△ABC的边AC交x轴于P点．
（I）如图1，若k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求△ABC的面积；
（2）已知当k变化时，点C在某一函数图象上运动，请直接该函数解析式，并指出自变量x的取值范围；
（3）试比较AP与PC的大小．并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）将k值代入直线AB的解析式中，得出直线AB解析式，再联立双曲线解析式即可得出点A，B坐标，进而求出AB，用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）先根据等边三角形的性质得出OC=$\sqrt{3}$OA，再用△AOD∽△OCE得出的比例式即可得出OE和CE，即可得出结论；
（3）利用相似三角形的性质得出$\frac{AP}{CP}=\frac{1}{{m}^{2}}$，再分类讨论即可得出结论．

解答 解：（1）当k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，直线AB解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x①，
∵A，B在双曲线y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$②上，
联立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴A（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），B（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
∴AB=$\sqrt{（\sqrt{3}+\sqrt{3}）^{2}}$+$\sqrt{（\sqrt{3}+\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵△ABC是等边三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（4$\sqrt{3}$）²=12$\sqrt{3}$，

（2）如图，

设设C（x，y），A（m，$\frac{\sqrt{3}}{m}$），
过点A作⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，连接OC，
∴∠COE+∠OCE=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴OC=$\sqrt{3}$OA，OC⊥AB，
∠AOD+∠COE=90°，
∴∠AOD=∠OCE，∠ADO=∠OEC，
∴△AOD∽△OCE，
∴$\frac{OD}{CE}=\frac{AD}{OE}=\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∵OD=m，AD=$\frac{\sqrt{3}}{m}$，
∴CE=$\sqrt{3}$OD=$\sqrt{3}$m，OE=$\sqrt{3}$AD=$\frac{3}{m}$，
∴xy=OE•CE=$\sqrt{3}$m•$\frac{3}{m}$=3$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$（x＞0），

（3）由（2）知，CE=$\sqrt{3}$m，AD=$\frac{\sqrt{3}}{m}$，
∵∠ADP=∠CEP，∠APD=∠CPE，
∴△ADP∽△CEP，
∴$\frac{AP}{CP}=\frac{AD}{CE}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{m}}{\sqrt{3}m}$=$\frac{1}{{m}^{2}}$，
当m≥1时，$\frac{1}{{m}^{2}}$≤1，
∴$\frac{AP}{CP}≤1$，
∴CP≥AP，当m＜1时，
同理：CP＜AP．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△AOD∽△OCE和△ADP∽△CEP，是一道基础题目．