Question

如图①，已知正方形ABDE和正方形AGFC中，点B、A、C在一条直线上，点G在边AE上，连接BG、EC．
（1）求证：BG=EC，BG⊥EC．
（2）当正方形AGFC绕A点旋转到B、A、C三点不在同一条直线上时（如图②、图③），线段BG、EC又有怎样的关系？请写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，然后利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=EC，全等三角形对应角相等可得∠ABG=∠AEC，设BG的延长线交EC于H，然后求出∠ABG+∠ACE=90°，从而得到∠BHC=90°，再根据垂直的定义证明即可；
（2）结论仍然成立．图②根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，再求出∠BAG=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=EC，全等三角形对应角相等可得∠ABG=∠AEC，设BG的延长线交EC于H，根据三角形的内角和定理求出∠BHE=∠BAE=90°，再根据垂直的定义证明即可；图③证明方法与图②相同．

解答：（1）证明：在正方形ABDE和正方形AGFC中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，
在△ABG和△AEC中，

AB=AE ∠BAE=∠GAC=90° AC=AG

，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=EC，∠ABG=∠AEC，
设BG的延长线交EC于H，
∵∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠ABG+∠ACE=90°，
∴∠BHC=180°-90°=90°，
∴BG⊥EC；

（2）BG=EC，BG⊥EC．
证明：图②，在正方形ABDE和正方形AGFC中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，
∴∠BAE-∠EAG=∠GAC-∠EAG，
即∠BAG=∠EAC，
在△ABG和△AEC中，

AB=AE ∠BAG=∠EAC AC=AG

，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=EC，∠ABG=∠AEC，
设BG的延长线交EC于H，
由三角形的内角和定理得，∠BHE=∠BAE=90°，
∴BG⊥EC；

图③，在正方形ABDE和正方形AGFC中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，
∴∠BAE+∠EAG=∠GAC+∠EAG，
即∠BAG=∠EAC，
在△ABG和△AEC中，

AB=AE ∠BAG=∠EAC AC=AG

，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=EC，∠ABG=∠AEC，
设BG的延长线交EC于H，
由三角形的内角和定理得，∠BHE=∠BAE=90°，
∴BG⊥EC．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并根据正方形的性质找出全等的条件是解题的关键，此类题目，各小题的求解思路相同是解题的突破点．