Question

5．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C=90°，c=5，a，b是关于x的一元二次方程x²-mx+2m-2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得出a+b=m，ab=2m-2，根据勾股定理得出a²+b²=5²，求出m²-2（2m-2）=25，求出m，得出方程，求出方程的解，即可得出答案．

解答 解：∵a，b是关于x的一元二次方程x²-mx+2m-2=0的两个根，
∴a+b=m，ab=2m-2，
由勾股定理得：a²+b²=5²，
（a+b）²-2ab=25，
m²-2（2m-2）=25，
解得：m=7或-3，
当m=-3时，ab=2×（-3）-2=-8＜0，两边长的积不能为负数，不符合题意舍去；
当m=7时，方程为x²-7x+12=0，
解得：x=4或3，
即a=4，b=3或a=3，b=4，
Rt△ABC中较小锐角的正弦值为$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，根与系数的关系等知识点，能求出m的值是解此题的关键．