Question

在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：把△ABD沿AB为对称轴翻折成为△ABE，△ACD沿AC为对称轴翻折成为△ACG，延长EB、GC相交于点F，根据轴对称的性质可以证明四边形AEFG是正方形，设AD=x，用x表示出BF、CF，在Rt△BCF中，根据勾股定理列式进行计算即可求出x的值，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：如图，把△ABD沿AB为对称轴翻折成为△ABE，△ACD沿AC为对称轴翻折成为△ACG，延长EB、GC相交于点F，
则△ABE≌△ABD，△ACD≌△ACG，
所以，AD=AE=AG，∠AEB=∠AGC=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAG=∠EAB+∠BAD+∠CAD+∠CAG=2（∠BAD+∠CAD）=2∠BAC=2×45°=90°，
∴四边形AEFG是正方形，
∵BD=3，DC=2，
∴BC=BD+CD=3+2=5，
设AD=x，则BF=EF-BE=x-3，CF=FG-CG=x-2，
在Rt△BCF中，根据勾股定理，BF²+CF²=BC²，
即（x-3）²+（x-2）²=5²，
整理得，x²-5x-6=0，
解得，x₁=-1（舍去），x₂=6，
所以，S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×5×6=15．

点评：本题考查了正方形的判定与性质，轴对称的性质，以及勾股定理的应用，根据∠BAC=45°轴对称图形，构造出正方形并得到Rt△BCF是解题的关键，也是本题的难点．