Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小球依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，如图所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒．
思考：
（1）若θ=30°，∠AA₂A₁=25°，则∠A₄A₃A₅=

 

．
（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．
①θ=

 

度．
②若小棒A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…），求出此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n（用函数n的式子表示）．

Answer 1

考点：等腰直角三角形

专题：规律型

分析：（1）由θ=30°，∠AA₂A₁=25°，根据三角形外角得出∠A₂A₁A₃=55°，进而根据三角形内角和求得∠A₂A₃A₁=25°，根据平角的概念就可求得∠A₄A₃A₅=55°．
（2）①本题需先根据已知条件AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，得出A₂A₃和AA₃的值，判断出A₁A₂∥A₃A₄、A₃A₄∥A₅A₆，即可求出∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A；
②结合已知条件，根据直角三角形的性质，即可得出AA₃=1+

2

，由A₁A₂∥A₃A₄∥A₅A₆，可以推出∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，得AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆，即可推出a₂、a₃的长度，然后推出a_n的表达式．

解答：解：（1）∵θ=30°，∠AA₂A₁=25°，
∴∠A₂A₁A₃=55°，
∵∠A₁A₂A₃=90°，
∴∠A₂A₃A₁=25°，
∵∠A₂A₃A₄=90°，
∴∠A₄A₃A₅=55°．
故答案为55°
（2）①∵A₁A₂=A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴∠A₂A₁A₃=45°，
∴∠AA₂A₁+∠θ=45°，
∵∠AA₂A₁=∠θ，
∴∠θ=22.5°，
故答案为22.5；
②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃
∴A₂A₃=1，AA₃=1+

2

，
又∵A₂A₃⊥A₃A₄
A₁A₂∥A₃A₄
同理；A₃A₄∥A₅A₆
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=1+

2

，
a₃=AA₃+A₃A₅=a₂+A₃A₅
∵A₃A₅=

2

a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=a₂+

2

a₂=（

2

+1）²，
∴a_n=（

2

+1）^n-1．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合是本题的关键．