Question

16．如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．
（1）m=4；
（2）求点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）有点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出m的值；
（2）由反比例函数的解析式结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再领y=0求出x值即可得出点C的坐标；
（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0），分∠ABE=90°、∠BAE=90°以及∠AEB=90°三种情况考虑：①当∠ABE=90°时，根据等腰三角形的性质，利用勾股定理即可找出关于n的一元二次方程，解方程即可得出结论；②当∠BAE=90°时，根据∠ABE＞∠ACD可得出两三角形不可能相似；③当∠AEB=90°时，根据A、B的坐标可得出AB的长度，以AB为直径作圆可知圆与x轴无交点，故该情况不存在．综上即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象上，
∴m=1×4=4，
故答案为：4．
（2）∵点B（2，a）在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴a=$\frac{4}{2}$=2，
∴B（2，2）．
设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴过点A、B的直线的解析式为y=-2x+6．
当y=0时，有-2x+6=0，
解得：x=3，
∴点C的坐标为（3，0）．
（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0）．
①当∠ABE=90°时（如图1所示），∵A（1，4），B（2，2），C（3，0），
∴B是AC的中点，
∴EB垂直平分AC，EA=EC=3-n．
由勾股定理得：AD²+DE²=AE²，即4²+（1-n）²=（3-n）²，
解得：n=-2，
此时点E的坐标为（-2，0）；
②当∠BAE=90°时，∠ABE＞∠ACD，
故△EBA与△ACD不可能相似；
③当∠AEB=90°时，∵A（1，4），B（2，2），
∴AB=$\sqrt{5}$，2＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴以AB为直径作圆与x轴无交点（如图3），
∴不存在∠AEB=90°．
综上可知：在x轴上存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似，点E的坐标为（-2，0）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出m值；（2）根据待定系数法求出直线AB的解析式；（3）分∠ABE=90°、∠BAE=90°以及∠AEB=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．