Question

18．如图，点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、P₃（x₃，y₃）、…、P_n（x_n，y_n）、P_n+1（x_n+1、y_n+1）（n为正整数）在反比例函数y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的图象像上，且x₁=2，x_n+1=x_n+2，分别连接OP₁、OP₂、OP₃、…、OP_n、OP_n+1；构成若干个三角形，记△P₁OP₂的面积为S₁，△P₂OP₃的面积为S₂，…，依此类推，则S_n=$\frac{16n-8}{n（n-1）}$（用含有n的代数式表示）

Answer 1

分析 如图，连接P₁P₂，过点P₁作P₁H⊥x轴于点H，过点P₂E⊥x轴于点E，由反比例函数系数k的几何意义得到：S₁=S_梯形P1HEP2，然后结合梯形的面积公式和反比例函数图象上点的坐标特征进行解题．

解答 解：如图，连接P₁P₂，过点P₁作P₁H⊥x轴于点H，过点P₂E⊥x轴于点E，
∵点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）在反比例函数y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的图象像上，
∴S${\;}_{O{P}_{1}H}$=S${\;}_{△O{P}_{2}E}$=$\frac{1}{2}$×8=4．
∴S₁=S_梯形P1HEP2，
又∵当x₁=2时，y₁=4，即P₁（2，4）．
则x₂=x₁+2=4，y₂=$\frac{8}{4}$=2，即P₂（4，2）．
所以S₁=$\frac{4+2}{2}$×2=6；
同理，S₂=$\frac{\frac{8}{2+（3-1）×2}+\frac{8}{2+（2-1）×2}}{2}$×2=$\frac{10}{3}$，
S₃=$\frac{\frac{8}{2+（4-1）×2}+\frac{8}{2+（3-1）×2}}{2}$×2=$\frac{7}{3}$，
…
S_n=$\frac{\frac{8}{2+（n-1）×2}+\frac{8}{2+（n-2）×2}}{2}$×2=$\frac{16n-8}{n（n-1）}$．
故答案是：$\frac{16n-8}{n（n-1）}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据图形得到S₁=S_梯形P1HEP2是解题的突破口．