Question

【题目】如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．

（1）求证：四边形AECF为矩形；

（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；

（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）MN∥BC且MN＝BC，证明详见解析；（3）△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）

【解析】

（1）根据题意直接证明三个角是直角即可解决问题；

（2）由题意可知结论：MN∥BC且MN＝BC．只要证明MN是△ABC的中位线即可；

（3）由题意根据菱形的性质进行分析即可判定△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）.

（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，

∴∠AEC＝∠AFC＝90°，

又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，

∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，

∴∠ACE+∠ACF＝（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）＝×180°＝90°，

∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．

（2）结论：MN∥BC且MN＝BC．

证明：∵四边形AECF为矩形，

∴对角线相等且互相平分，

∴NE＝NC，

∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，

∴MN∥BC，

又∵AN＝CN（矩形的对角线相等且互相平分），

∴N是AC的中点，

若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，

则M1N是△ABC的中位线，M1N∥BC，

而MN∥BC，M1即为点M，

所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM＝BM）

∴MN＝BC.

（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）．

理由：∵四边形AECF是菱形，

∴AC⊥EF，

∵EF∥AC，

∴AC⊥CB，

∴∠ACB＝90°．即△ABC是直角三角形．