Question

如下图，已知AD⊥CD于D，且AD=4，CD=3，AB=12，BC=13．
求：（1）四边形ABCD的面积；
（2）若∠B=35°，求∠ACB的度数．

Answer 1

分析：（1）先连接AC，根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式求解即可．
（2）由（1）可知，△ABC是直角三角形，根据其三边关系可判断出直角三角形的两直角边及斜边，再根据直角三角形中两锐角互余解答即可．

解答：解：（1）连接AC，∵AD⊥CD于D，AD=4，CD=3，
∴AC=

AD2+CD2

=

42+32

=5；
在△ABC中，∵AB=12，BC=13，AC=5，5²+12²=13²，即AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC
=

1

2

AD•CD+

1

2

AB•AC
=

1

2

×3×4+

1

2

×12×5
=6+30
=36．

（2）∵△ABC是直角三角形，AC²+AB²=BC²，∴∠BAC=90°，
∵∠B=35°，∴∠ACB=90°-35°=55°．

点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出AC的长，再判断出△ABC为直角三角形，再利用三角形的面积公式即可解答．