Question

13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，且OA=1，OC=4．
（1）求抛物线解析式；
（2）在该抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点Q（5，3）和该抛物线上一动点M，试求当|QM-AM|的值最大时点M的坐标，并直接写出|QM-AM|的最大值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；
（3）利用待定系数法确定出直线QA解析式，当点M与点Q、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|QM-AM|＜QA，当点M与点Q、A在同一直线上时，|QM-AM|=QA，
当点M与点Q、A在同一直线上时，|QM-AM|的值最大，即点M为直线QA与抛物线的交点，联立直线QP与抛物线解析式，求出当|QM-AM|的最大值时M坐标，确定出|QM-AM|的最大值即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵A（1，0）、B（0，3）、C（-4，0），
∴∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=3}\\{16a-4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{3}{4}$，b=-$\frac{9}{4}$，c=3，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3；
（2）在该抛物线上是不存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴点P的坐标为（5，3），
∵（5，3）不在抛物线上；
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
在该抛物线上是不存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；
（3）如图，
设直线QA的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（1，0），Q（5，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=3}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，b=-$\frac{3}{4}$，
∴直线QA的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
当点M与点Q、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|QM-AM|＜QA，
当点M与点Q、A在同一直线上时，|QM-AM|=QA，
∴当点M与点Q、A在同一直线上时，|QM-AM|的值最大，即点M为直线QA与抛物线的交点，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{9}{4}x+3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-5}\\{{y}_{2}=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（1，0）或（-5，-$\frac{9}{2}$）时，|QM-AM|的值最大，此时|QM-AM|的最大值为5．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．