Question

11．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，F为AB的中点，连接CE，CF，过点F作FG⊥CE于点G，连接AG，BG，过点G作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N．若AD=4AE，AE=EG，则下列结论中不正确的是（　　）

• A． ∠AGB=90°
• B． △BCF≌△GCF
• C． tan∠GCN=$\frac{4}{3}$
• D． 15S_△ABG=S_△BCG

Answer 1

分析 A、连接EF，设AE=x，证明△AEF∽△BFC，得$\frac{EF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，再证明△EFG∽△FCG，得FG=AF=BF，则△AGB是直角三角形，∠AGB=90°，结论正确；
B、根据HL证明△BCF≌△GCF，结论正确；
C、由EM∥CN，得$\frac{EG}{CG}=\frac{MG}{GN}=\frac{EM}{CN}$=$\frac{x}{4x}$=$\frac{1}{4}$，证明GN=$\frac{16x}{5}$，CN=$\frac{12x}{5}$，则tan∠GCN=$\frac{GN}{CN}$=$\frac{4}{3}$，结论正确；
D、分别计算S_△ABG和S_△BCG，得2S_△ABG=S_△BCG，则结论不正确．

解答 解：A、连接EF，
设AE=x，则AD=BC=x，AF=BF=2x，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{x}{2x}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BF}{BC}=\frac{2x}{4x}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{BF}{BC}$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴△AEF∽△BFC，
∴$\frac{EF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，∠EFA=∠FCB，
∵∠FCB+∠CFB=90°，
∴∠EFA+∠CFB=90°，
∴∠EFC=90°，
∵FG⊥EC，
∴△EFG∽△FCG，
∴$\frac{EG}{FG}=\frac{FG}{CG}=\frac{EF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∵EG=AE=x，
∴FG=2x，CG=4x，
∴FG=AF=BF，
∴∠GAF=∠FGA，∠FGB=∠FBG，
∴∠GAF+∠FBG=∠FGA+∠FGB=90°，
∴∠AGB=90°，
所以选项A正确；
B、∵BC=CG=4x，∠FGC=∠FBC=90°，FC=FC，
∴△BCF≌△GCF，
所以B选项正确；
C、∵EM∥CN，
∴$\frac{EG}{CG}=\frac{MG}{GN}=\frac{EM}{CN}$=$\frac{x}{4x}$=$\frac{1}{4}$，
∵MN=AB=4x，
∴GN=4x•$\frac{4}{5}$=$\frac{16x}{5}$，
∵AE=x，AD=4x，
∴ED=3x，
∴CN=3x•$\frac{4}{5}$=$\frac{12x}{5}$，
在Rt△GNC中，tan∠GCN=$\frac{GN}{CN}$=$\frac{\frac{16x}{5}}{\frac{12x}{5}}$=$\frac{4}{3}$，
所以选项C正确；
D、S_△BCG=$\frac{1}{2}$BC•GN=$\frac{1}{2}$•4x•$\frac{16x}{5}$=$\frac{32}{5}{x}^{2}$，
S_△ABG=$\frac{1}{2}$AB•AM=$\frac{1}{2}$•4x•（4x-$\frac{12x}{5}$）=$\frac{16}{5}{x}^{2}$，
∴2S_△ABG=S_△BCG，
所以D选项不正确；
本题选择结论不正确的，故选D．

点评 本题是正方形、全等三角形和解直角三角形的综合题，考查了正方形的性质及全等三角形的性质和判定，根据倍数关系设较小的边AE=x，利用三角形相似表示出其它各边的长，从而求角的三角函数值及三角形的面积比，同时也能得出其它边和角的关系．