Question

如图，已知抛物线y=-x²+2x+3交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；
（3）连接AC，在轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据-x²+2x+3=0，解得x₁=3、x₂=-1，即点A（-1，0），B（3，0），根据抛物线y=-x²+2x+3交y轴于点C，可知当x=0时，y=3，所以C（0，3）
（2）抛物线y=-x²+2x+3的点顶为M，根据顶点公式可知M（1，4），过点M作ME⊥AB于E，则ME=4，OE=1，BE=2，OC=3，所以S_△BCM=S_{四边形COBM}-S_△BOC=3
（3）分情况讨论，共有4个点．
（1）以AC为腰：
①当以点A为圆心，AC长为半径画弧交x轴于点P₁，p₂（p₁在p₂的右侧）
可知P₁（，0）P₂（-，0），交y轴于一点p₅；②以点C为圆心，AC为半径画弧交x轴于点P₃，点P₃与点A关于y轴对称，则点P₃坐标为（1，0），交y轴于两点p₆，p₇，
（2）以AC为底边：作AC的垂直平分线交x轴于点p₄垂足为F，利用△AOC∽△AFP₄可求AP₄=5，OP₄=5-1=4，所以P₄（4，0）．
解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+2x+3交x轴于A，B两点
∴-x²+2x+3=0，
解得x₁=3，x₂=-1
∴点A（-1，0），B（3，0）
又∵抛物线y=-x²+2x+3交y轴于点C，
∴点C（0，3）

（2）∵抛物线y=-x²+2x+3的顶点为M
∴x==1
y=
∴M（1，4）
过点M作ME⊥AB于E，则ME=4，OE=1，
∴BE=OB-OE=3-1=2，OC=3
∴S_△BCM=S_△△BOC=3．

（3）存在点P
1）以AC为腰：
①当以点A为圆心，AC长为半径画弧交x轴于点P₁，p₂（p₁在p₂的右侧）
AC==，
∴P₁O=，P₂O=
∴P₁（，0）P₂（-，0）
交y轴于p₅与C点关于x轴对称，坐标为：（0，-3）
②以点C为圆心，AC为半径画弧交x轴于点P₃
∴点P₃与点A关于y轴对称，则点P₃坐标为（1，0），
交y轴于点p₆，p₇两点，p₆（0，3-），p₇（0，3+）
2）以AC为底边：作AC的垂直平分线交x轴于点p₄垂足为F，则AF=
∵∠AFP₄=∠AOC=90°
∠CAO=∠P₄AF
∴△AOC∽△AFP₄
∴
∴=
∴AP₄=5，
∴OP₄=5-1=4，
∴P₄（4，0）
∴点P的坐标为：P₁（，0）P₂（-，0）P₃（1，0），P₄（4，0），p₅（0，-3），p₆（0，-3），p₇（0，3+）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．