Question

8．已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的表达式；
（2）点C（n，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，求△AOC面积；
（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数y=$\frac{k}{x}$的表达式；
（2）把C（n，1）（1）求得的解析式就可求得C的坐标，根据梯形公式即可求得△AOC的面积；
（3）联立方程求得B的坐标，设P（x，0），根据勾股定理列出式子，解方程即可求得P的坐标．

解答 解：（1）∵点A（1，m）在一次函数y=x+2的图象上，
∴m=3．
∴点A的坐标为（1，3）．   
∵点A（1，3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=3．
∴反比例函数y=$\frac{k}{x}$的表达式为y=$\frac{3}{x}$；

（2）∵点C（n，1）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴n=3．
∴C（3，1）．
∵A（1，3），
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$×（1+3）×（3-1）=4．            

（3）解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴A（1，3），B（-3，-1），
设P（x，0），
根据题意：（x-1）²+3²+（x+3）²+1²=（1+3）²+（3+1）²
整理得：x²+2x-6=0，
解得：x₁=-$\sqrt{7}$-1，x₂=$\sqrt{7}$-1，
∴所有符合条件的点P的坐标：P₁（-$\sqrt{7}$，0），P₂（$\sqrt{7}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，应用的知识点有：待定系数法求解析式，三角形的面积，勾股定理等．