Question

如图，已知正方形ABCD边长为10cm，点M从C到D以1cm/s的速度运动．将正方形ABCD折叠，使顶点A与点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．设点M的运动时间为t（0＜t＜10），单位：s．
（1）求证：△DEM∽△CMG；
（2）当t=5s时，求△DEM的周长；
（3）当5＜t＜10时，求△CMG的周长．

Answer 1

（1）根据折叠的性质知：∠EMG=∠A=90°
∴∠DME+∠CMG=90°
∵∠DME+∠DEM=90°
∴∠DEM=∠CMG
∵∠D=∠C=90°
∴△DEM∽△CMG．

（2）根据折叠的性质知：EM=EA，当t=5时，DM=CM=5
∴△DEM的周长为：DM+DE+EM=DM+DE+EA=DM+DA=15cm；

（3）依题意得：CM=t，DM=10-t，
设EM=EA=x，则DE=10-x
在Rt△DEM中，EM²=DE²+DM²，
即x²=（10-x）²+（10-t）²
解得：x=10-t+

t2

20

，DE=10-x=t-

t2

20

∵△DEM∽△CMG
∴

ME

DE

=

GM

CM

即

x

10-t

=

GM

t

，
解得：GM=

200-20t+t2

20-t

同理可得：CG=

200-20t

20-t

∴△CMG的周长为：CM+CG+MG=20cm．