【题目】如图所示,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值.测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为37°,塔底B的仰角为26.6°.已知塔高BC=80米,塔所在的山高OB=220米,OA=200米,图中的点O、B、C、A、P在同一平面内,求山坡的坡度.(参考数据sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50;sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)
【答案】解:如图,过点P作PD⊥OC于D,PE⊥OA于E,则四边形ODPE为矩形.
在Rt△PBD中,∵∠BDP=90°,∠BPD=26.6°,
∴BD=PDtan∠BPD=PDtan26.6°。
在Rt△CBD中,∵∠CDP=90°,∠CPD=37°,
∴CD=PDtan∠CPD=PDtan37°。
∵CD﹣BD=BC,∴PDtan37°﹣PDtan26.6°=80。
∴0.75PD﹣0.50PD=80,解得PD=320。
∴BD=PDtan26.6°≈320×0.50=160。
∵OB=220,∴PE=OD=OB﹣BD=60。
∵OE=PD=320,∴AE=OE﹣OA=320﹣200=120。
∴。∴α≈26.6°。
【解析】
试题过点P作PD⊥OC于D,PE⊥OA于E,则四边形ODPE为矩形,先解Rt△PBD,得出BD=PDtan26.6°;解Rt△CBD,得出CD=PDtan37°;再根据CD﹣BD=BC,列出方程,求出PD=320,进而求出PE=60,AE=120,然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解。
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【题目】对于封闭的平面图形,如果图形上或图形内的点S到图形上的任意一点P之间的线段都在图形内或图形上,那么这样的点S称为“亮点”.如图,对于封闭图形ABCDE,S1是“亮点”,S2不是“亮点”,如果AB∥DE,AE∥DC,AB=2,AE=1,∠B=∠C=60°,那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为______.
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【题目】某中学艺术节期间,学校向学生征集书画作品,杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A,B,C,D表示),对征集到的作品的数量进行了分析统计,制作了两幅不完整的统计图.
请根据以上信息,回答下列问题:
(1)杨老师采用的调查方式是 (填“普查”或“抽样调查”);
(2)请你将条形统计图补充完整,并估计全校共征集多少件作品?
(3)如果全校征集的作品中有5件获得一等奖,其中有3名作者是男生,2名作者是女生,现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会,请你用列表或树状图的方法,求恰好选取的两名学生性别相同的概率.
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【题目】如图,已知已知抛物线经过原点O和x轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D,直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B(﹣2,m)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.
(1)求m的值及该抛物线的解析式
(2)P(x,y)是抛物线上的一点,若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标.
(3)点Q是平面内任意一点,点M从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设点M的运动时间为t秒,是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形?若能,请直接写出点M的运动时间t的值;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,AB⊥x轴,垂足为A.反比例函数y= (x>0)的图象经过点C,交AB于点D.已知AB=4,BC=.
(1)若OA=4,求k的值;
(2)连接OC,若BD=BC,求OC的长.
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【题目】已知:如图,二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该二次函数的关系式;
(2)写出该二次函数的对称轴和顶点坐标;
(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(4)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,则下列说法错误的是( )
A. AB=4
B. ∠ABC=45°
C. 当x>0时,y<﹣3
D. 当x>1时,y随x的增大而增大
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【题目】某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1:1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1:.
(1)求新坡面的坡角∠CAB的度数;
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.
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