Question

如图①，平面直角坐标系中，已知C（0，10），点P、Q同时从点O出发，在线段OC上做往返匀速运动，设运动时间为t（s），点P、Q离开点O的距离为S，图②中线段OA、OB（A、B都在格点上）分别表示当0≤t≤6时P、Q两点离开点O的距离S与运动时间t（s）的函数图象．
（1）请在图②中分别画出当6≤t≤10时P、Q两点离开点O的距离S与运动时间t（s）的函数图象．
（2）求出P、Q两点第一次相遇的时刻．
（3）如图①，在运动过程中，以OP为一边画正方形OPMD，点D在x轴正半轴上，作QE∥PD交x轴于E，设△PMD与△OQE重合部分的面积为y，试求出当0≤t≤10时y与t（s）的函数关系式（写出相应的t的范围）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题,图表型,分类讨论

分析：（1）根据0≤t≤6时的函数图象求出P、Q的速度，再求出P到达10时的时间，然后补全图形，求出Q到达10时的时间，以及10秒时的路程，再补全图形即可；
（2）根据相遇时，点P、Q行驶的路程之和等于OC的2倍列出方程求解即可；
（3）分①点Q到达点C前，②点Q到达点C后返回至相遇前，重合部分为两个等腰直角三角形的面积的差，③P、Q相遇后，没有重合部分三种情况列式整理即可得解．

解答：解：（1）由图可知，点P的速度为：6÷6=1单位/秒，
点Q的速度为：9÷6=

3

2

单位/秒，
∴点P到达点C的时间为10÷1=10秒，
点Q到达点C的时间为10÷

3

2

=

20

3

秒，
10秒时，返回的路程为10×1.5-10=5单位，
补全图形如图所示；

（2）设t秒时，P、Q两点第一次相遇，
由题意得，t+

3

2

t=10×2，
解得t=8；

（3）①点Q到达点C前，0≤t≤

20

3

，
重合部分面积y=

1

2

t²-

1

2

[t-（

3

2

t-t）]²，
=

1

2

t²-

1

8

t²，
=

3

8

t²；
②点Q到达点C后返回至相遇前，

20

3

＜t＜8，
重合部分面积y=

1

2

t²-

1

2

[t-（20-

3

2

t-t）]²，
=

1

2

t²-

1

2

（

7

2

t-20）²，
=-

45

8

t²+70t-200，
③P、Q相遇后，8≤t≤10，没有重合部分，
所以，y=0．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，相遇问题的等量关系，难点在于（3）分情况讨论并判断出重合部分是两个等腰直角三角形的面积的差．