Question

20．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c的顶点M的坐标为（-1，-4），且与x轴交于点A，点B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）填空：b=2，c=-3，直线AC的解析式为y=-x-3；
（2）直线x=t与x轴、直线AC、和抛物线分别相交于点H，点E和点P．
①当-3＜t＜-1时，设直线x=t与线段AM相交于点F，当线段HE、EF、FP组成的三角形是一个底角的正切值为$\frac{4}{3}$的等腰三角形时，求此时t的值；
②连接BC，是否存在这样的t值，使得以P、E、C为顶点的三角形中有一个内角与∠ACB相等？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用顶点坐标公式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式为y=x²+2x-3，再利用抛物线的解析式可求得A、C坐标，然后利用待定系数法可求得直线AC解析式；
（2）①易得直线AM的解析式为y=-2x-6，则E（t，-t-3），F（t，-2t-6），P（t，t²+2t-3），所以HE=t+3，EF=t+3，FP=-t²-4t-3，利用等腰三角形的性质和正切的定义可确定
线段HE、EF、FP组成的等腰三角形的底边与腰的比为$\frac{6}{5}$，即$\frac{-{t}^{2}-4t-3}{t+3}$=$\frac{6}{5}$，然后解方程可得到t的值；
②讨论：当t＜-3时，由于∠PEC=135°，而∠ACB＞45°，则判定△PEC中不存在有一个角等于∠ACB；当t＞-3时，∠PEC=45°=∠BAC，若∠EPC=∠ACB，根据相似三角形的判定方法得到△EPC∽△ACB，利用相似比得$\frac{-{t}^{2}-3t}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}（t+3）}{4}$，若∠ECP=∠ACB，则△EPC∽△ABC，所以$\frac{-{t}^{2}-3t}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}（t+3）}{3\sqrt{2}}$，然后分别解方程即可得到满足条件的t的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c的顶点M的坐标为（-1，-4），
∴-$\frac{b}{2}$=-1，$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$=-4，
∴b=2   c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3，
当y=0时，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，则A（-3，0），B（1，0），
当x=0时，y=-3，则C（O，-3），
设直线AC的解析式为y=kx+m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x-3；
故答案为2，-3，y=-x-3；
（2）①易得直线AM的解析式为y=-2x-6，
∵H（t，0），
∴E（t，-t-3），F（t，-2t-6），P（t，t²+2t-3），
∴HE=t+3，EF=t+3，FP=-t²-4t-3，
∵线段HE、EF、FP组成的三角形是一个底角的正切值为$\frac{4}{3}$的等腰三角形，
即此等腰三角形的底边与腰的比为$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{-{t}^{2}-4t-3}{t+3}$=$\frac{6}{5}$，解得t₁=-3（舍），t₂=-$\frac{11}{5}$，
即此时t的值为-$\frac{11}{5}$；
②存在．
当t＜-3时，
∵∠PEC=135°，而∠ACB＞45°，
∴△PEC中不存在有一个角等于∠ACB；
当t＞-3时，∠PEC=45°=∠BAC，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，EP=-t-3-（t²+2t-3）=-t²-3t，AE=$\sqrt{2}$HE=$\sqrt{2}$（t+3），
若∠EPC=∠ACB，则△EPC∽△ACB，
∴$\frac{EP}{AC}$=$\frac{EC}{AB}$，即$\frac{-{t}^{2}-3t}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}（t+3）}{4}$，解得t₁=0（舍），t₂=-$\frac{3}{2}$，
若∠ECP=∠ACB，则△EPC∽△ABC，
∴$\frac{EP}{AB}$=$\frac{EC}{AC}$，即$\frac{-{t}^{2}-3t}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}（t+3）}{3\sqrt{2}}$，解得t₁=0（舍），t₂=-$\frac{5}{3}$，
综上所述，t的值为-$\frac{3}{2}$或-$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．