Question

12．已知直线l₁：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点C（1，a）．
（1）试确定双曲线的函数表达式；
（2）将l₁沿y轴翻折后，得到l₂，画出l₂的图象，并求出l₂的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，分别交l₂于点M，交双曲线于点N，求S_△AMN的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=1代入一次函数y=x+3后求出C的坐标，然后把C代入反比例函数解析式中即可求出k的值；
（2）设直线l₂与x轴交于D，由题意知，A与D关于y轴对称，所以可以求出D的坐标，再把B点坐标代入y=ax+b即可求出直线l₂的解析式；
（3）设M的纵坐标为t，由题意可得M的坐标为（3-t，t），N的坐标为（$\frac{4}{t}$，t），进而得MN=$\frac{4}{t}$+t-3，又可知在△ABM中，MN边上的高为t，所以可以求出S_△AMN与t的关系式．

解答 解：（1）令x=1代入y=x+3，
∴y=1+3=4，
∴C（1，4），
把C（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$中，
∴k=4，
∴双曲线的解析式为：y=$\frac{4}{x}$；

（2）如图所示，
设直线l₂与x轴交于点D，
由题意知：A与D关于y轴对称，
∴D的坐标为（3，0），
设直线l₂的解析式为：y=ax+b，
把D与B的坐标代入上式，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{0=3a+b}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的解析式为：y=-x+3；

（3）设M（3-t，t），
∵点P在线段AC上移动（不包括端点），
∴0＜t＜4，
∴PN∥x轴，
∴N的纵坐标为t，
把y=t代入y=$\frac{4}{x}$，
∴x=$\frac{4}{t}$，
∴N的坐标为（$\frac{4}{t}$，t），
∴MN=$\frac{4}{t}$-（3-t）=$\frac{4}{t}$+t-3，
过点A作AE⊥PN于点E，
∴AE=t，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$AE•MN，
=$\frac{1}{2}$t（$\frac{4}{t}$+t-3）
=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t+2
=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{8}$，
由二次函数性质可知，当0≤t≤$\frac{3}{2}$时，S_△AMN随t的增大而减小，当$\frac{3}{2}$＜t≤4时，S_△AMN随t的增大而增大，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，S_△AMN可取得最小值为$\frac{7}{8}$，
当t=4时，S_△AMN可取得最大值为4，
∵0＜t＜4
∴$\frac{7}{8}$≤S_△AMN＜4．

点评 本题考查函数的综合问题，涉及待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，三角形面积等知识，由于有动点，所以难度较高，需要学生利用参数去表示相关坐标，然后求出函数关系式．