Question

1．若a-a^-1=1，求下列各式的值：
（1）a²+a^-2；
（2）a³-a^-3；
（3）a+a^-1；
（4）a³+a^-3．

Answer 1

分析 （1）将a-$\frac{1}{a}$=1代入a²+a^-2=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a-$\frac{1}{a}$）²+2可得；
（2）将a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3、a-$\frac{1}{a}$=1代入a³-$\frac{1}{{a}^{3}}$=（a-$\frac{1}{a}$）（a²+1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）可得；
（3）将a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3代入（a+$\frac{1}{a}$）²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2后开方可得；
（4）将a+$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{5}$、a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3代入a³+a^-3=a³+$\frac{1}{{a}^{3}}$=（a+$\frac{1}{a}$）（a²-1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）可得．

解答 解：（1）∵a-a^-1=1，即a-$\frac{1}{a}$=1，
∴a²+a^-2=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a-$\frac{1}{a}$）²+2=3；

（2）∵a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3，a-$\frac{1}{a}$=1，
∴a³-a^-3=a³-$\frac{1}{{a}^{3}}$
=（a-$\frac{1}{a}$）（a²+1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）
=1×（1+3）
=4；

（3）∵a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2=5，
∴a+$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{5}$，即a+a^-1=$±\sqrt{5}$；

（4）∵a+$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{5}$，a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3，
∴a³+a^-3=a³+$\frac{1}{{a}^{3}}$
=（a+$\frac{1}{a}$）（a²-1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）
=$±\sqrt{5}$×（3-1）
=±2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查负整数指数幂及完全平方公式、立方和、立方差公式，熟练掌握立方和、立方差公式及完全平方公式及相互间的变形是关键．