Question

9．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4与x轴交于A，B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S关于m的函数表达式，并指出m的取值范围；
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，
①求直线DF的解析式；
②在射线DF上取一点M，使FM=k•DF，若点M恰好落在该抛物线上，则k=$\frac{-5+\sqrt{61}}{9}$．

Answer 1

分析 （1）令x=0求出抛物线与x轴的交点坐标，令x=0求出抛物线与y轴交点坐标；
（2）先表示出BE，DE，用矩形的面积公式求解即可；
（3）①由（2）得到的矩形面积的函数关系式，面积最大是求出m从而确定出D，F坐标即可得出直线解析式；
②先确定出直线DF和抛物线的交点坐标，用比例式求出k．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4与x轴交于A，B两点（点A在x轴的正半轴上），
∴令y=0，即：0=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
∴x=-4或x=2，
令x=0，∴y=4，
∴A（2，0），B（-4，0），C（0，4），
（2）由（1）知，OA=2，OC=4，AD=2-m，
∵DG∥OC，
∴$\frac{DG}{AD}=\frac{OC}{OA}$，
∴DG=4-2m．
同理：BE=4-2m，
∴DE=AB-AD-BE=3m，
∴S_矩形DEFG=DG×DE=（4-2m）×3m=-6m²+12m（0＜m＜2）；
（3）①由（2）得，S_矩形DEFG=DG×DE=-6m²+12m=-6（m-1）²+6（0＜m＜2）；
当m=1时，矩形DEFG面积最大，最大面积为6，此时，D（1，0），G（1，2），F（-2，2），E（-2，0），
∴直线DF解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
②如图，

由①知，D（1，0），F（-2，2），
∴DF=$\sqrt{13}$，
∴FM=k•DF=$\sqrt{13}$k，
过点M作MG⊥x轴，
设M（n，-$\frac{2}{3}$n+$\frac{2}{3}$），则G（n，0）
∴EG=-2-n，
∵点M在抛物线上，
∴-$\frac{2}{3}$n+$\frac{2}{3}$=-$\frac{1}{2}$n²-n+4，
∴n=$\frac{-1±\sqrt{61}}{3}$，
∵n＜0，
∴n=$\frac{-1-\sqrt{61}}{3}$，
∴EG=-2-n=$\frac{-5-\sqrt{61}}{3}$
∵D（1，0），E（-2，0），
∴DE=3，
∵EF∥MG，
∴$\frac{DF}{FM}=\frac{DE}{EG}$，
∴$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}k}=\frac{3}{\frac{-5+\sqrt{61}}{3}}$，
∴k=$\frac{-5+\sqrt{61}}{9}$．
故答案为$\frac{-5+\sqrt{61}}{9}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例定理，图象的交点坐标，解本题的关键是求出矩形DEFG的面积的函数关系式．