Question

已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC²=AD•AB．
（1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）若AB=1，求AC的值．

Answer 1

分析：（1）可通过证角相等来证三角形是等腰三角形．根据给出的比例关系式子，我们不难得出三角形ACD和ABC相似．那么可得出∠ACD=∠B，AC=DC，通过等边对等角我们可得出∠A=∠ACD，那么三角形ACD就是等腰三角形．证三角形CDB可通过角的度数进行证明（根据∠A的度数和三角形的内角和）．
（2）由于AC=BC，而（1）中也已经得出BC=BD，那么AC=BD，可用AC表示出AD，根据题中给出的比例关系求出AC的值．

解答：（1）证明：∵AC²=AD•AB，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B=36°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ACD=∠B=36°，
∴三角形ADC是等腰三角形，
∵∠BDC=∠A+∠ACD=72°，
∵∠B=36°，
∴∠BCD=180-36-72=72°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴三角形BCD是等腰三角形．

（2）解：∵AC=BC，BD=BC，
∴AC=BD，
∴AD=1-AC，
∵AC²=AD•AB，
∴AC²=1-AC，
解得：AC=

-1+ 5

2

（AC＞0）．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和等腰三角形的判定，根据题中的条件得出相似三角形进而得出对应角相等是解题的关键．