Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠DAB＝120°，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AC向终点C运动．过P作PE⊥AB交AB于点E，作PF⊥AD交AD于点F，设四边形AEPF与△ABD的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t．

（1）用含t的代数式表示线段BE的长；

（2）当点P与点O重合时，求t的值；

（3）求S与t之间的函数关系式；

（4）在点P出发的同时，有一点Q从点C出发，以每秒6个单位的速度沿折线C﹣D﹣A﹣B运动，设点Q关于AC的对称点是Q'，直接写出PQ'与菱形ABCD的边垂直时t的值．

Answer 1

【答案】（1）BE＝4﹣t；（2）t＝1；（3）当0＜t≤1时，当1＜t≤2时，；（4）t的值为s或s或s

【解析】

（1）解直角三角形求出AE即可解决问题．

（2）根据PA＝OA，构建方程即可解决问题．

（3）分两种情形分别画出图形解决问题即可．

（4）分三种情形：①如图4﹣1中，当PQ′⊥BC时．②如图4﹣2中，当点Q与点F重合时．③如图4﹣3中，当点Q与点E重合时，分别求解即可．

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝60°，

∴△ADC，△ABC都是等边三角形，

∵PE⊥AB，PA＝2t，

∴∠PEA＝90°，∠APE＝30°，

∴AE＝PA＝t，

∴BE＝AB﹣AE＝4﹣t．

（2）当点P与点O重合时，PA＝OA＝2＝2t，

∴t＝1时，点P与点O重合．

（3）当0＜t≤1时，如图1中，重叠部分是四边形PEAF，S＝2××t×t＝t2．

当1＜t≤2时，如图2中，重叠部分是五边形AEMNF，S＝S四边形PEAF﹣S△PMN＝t2﹣．

（4）如图4﹣1中，当PQ′⊥BC时，易知PC＝2CQ′，可得4﹣2t＝2×6t，解得t＝．

如图4﹣2中，当点Q与点F重合时，PQ⊥AB，则有：6t+t＝8，t＝

如图4﹣3中，当点Q与点E重合时，PQ′⊥AD，则有：6t＝8+t，t＝，

综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．