Question

5．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=2，移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D．
（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；
（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，由直角三角形的性质可知∠PHC=∠PND=90°，则∠HPC+∠CPN=90°，再由ASA定理得出△PCH≌△PDN，由此可得出结论；
（2）根据（1）中PC=PD可得出∠POB=∠PDC，故△PDE∽△POD，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）根据题意画出图形，假设△PDF与△OCD相似，再由相似三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：如图1，作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，则∠PHC=∠PND=90°，则∠HPC+∠CPN=90°，
∵∠CPN+∠NPD=90°，
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PH=PN，∠POB=45°．
∵在△PCH与△PDN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠PHC=∠PND\\ PH=PN\\∠HPC=∠NPD\end{array}\right.$，
∴△PCH≌△PDN（ASA），
∴PC=PD；

（2）解：∵PC=PD，
∴∠PDC=45°，
∴∠POB=∠PDC，
∵∠DPE=∠OPD，
∴△PDE∽△POD，
∴PE：PD=PD：PO，
又∵PD²=$\frac{1}{2}$CD²，
∴PE=$\frac{1}{4}$x²，即y与x之间的函数关系式为y=$\frac{1}{4}$x²；

（3）解：如图2，点C在AO上时，
∵∠PDF＞∠CDO，
令△PDF∽△OCD，
∴∠DFP=∠CDO，
∴CF=CD．
∵CO⊥DF，
∴OF=OD，
∴OD=$\frac{1}{2}$DF=OP=2．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．