Question

（2012•达州）如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（-2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE．
（1）填空：点D的坐标为

（-1，3）

，点E的坐标为

（-3，2）

．
（2）若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式．
（3）若正方形和抛物线均以每秒

5

个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．
①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．
②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）本问非常复杂，须小心思考与计算：
①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时

3

2

秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤

1

2

时，对应图（3）a；当

1

2

＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤

3

2

时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考；
②当运动停止时，点E到达y轴，点E（-3，2）运动到点E′（0，

7

2

），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了

3

2

个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标．

解答：解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1．
如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G．
易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（-1，3）；
同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（-3，2）．
∴D（-1，3）、E（-3，2）．

（2）抛物线经过（0，2）、（-1，3）、（-3，2），
则

c=2 a-b+c=3 9a-3b+c=2

?
解得  

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
∴y=-

1

2

x2-

3

2

x+2．

（3）①当点D运动到y轴上时，t=

1

2

．
当0＜t≤

1

2

时，如图（3）a所示．
设D′C′交y轴于点F
∵tan∠BCO=

OB

OC

=2，又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2，即

FC′

CC′

=2
∵CC′=

5

t，∴FC′=2

5

t．?
∴S_△CC′F?=

1

2

CC′•FC′=

1

2

5

t×2

5

t=5t²
当点B运动到点C时，t=1．
当

1

2

＜t≤1时，如图（3）b所示．
设D′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H．
在Rt△BOC中，BC=

22+12

=

5

∴GH=

5

，∴CH=

1

2

GH=

5

2

∵CC′=

5

t，∴HC′=

5

t-

5

2

，∴GD′=

5

t-

5

2

∴S_{梯形CC′D′G}?=

1

2

（

5

t-

5

2

+

5

t） 

5

=5t-

5

4

当点E运动到y轴上时，t=

3

2

．
当1＜t≤

3

2

时，如图（3）c所示
设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N
∵CC′=

5

t，B′C′=

5

，
∴CB′=

5

t-

5

，?∴B′N=2CB′=2

5

t-2

5

∵B′E′=

5

，∴E′N=B′E′-B′N=3

5

-2

5

t
∴E′M=

1

2

E′N=

1

2

（3

5

-2

5

t）
∴S_△MNE′?=

1

2

（3

5

-2

5

t）•

1

2

（3

5

-2

5

t）=5t²-15t+

45

4

∴S_{五边形B′C′D′MN}?=S_{正方形B′C′D′E′}?-S_△MNE′?=(

5

)2-（5t²-15t+

45

4

）=-5t²+15t-

25

4

综上所述，S与x的函数关系式为：
当0＜t≤

1

2

时，S=5t²
当

1

2

＜t≤1时，S=5t-

5

4

当1＜t≤

3

2

时，S=-5t²+15t-

25

4

②当点E运动到点E′时，运动停止．如图（3）d所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴

OB

B′E′

=

BC

E′C

∵OB=2，B′E′=BC=

5

∴

2

5

=

5

E′C

∴CE′=

5

2

∴OE′=OC+CE′=1+

5

2

=

7

2

∴E′（0，

7

2

）
由点E（-3，2）运动到点E′（0，

7

2

），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了

3

2

个单位．
∵y=-

1

2

x2-

3

2

x+2=y=-

1

2

(x+

3

2

)2+

25

8

?
∴原抛物线顶点坐标为（-

3

2

，

25

8

）
∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（

3

2

，

37

8

）．

点评：本题是非常典型的动线型综合题，全面考查了初中数学代数几何的多个重要知识点，包括：二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、抛物线与几何变换（平移）、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等．难点在于第（3）问，识别正方形和抛物线平移过程的不同阶段是关键所在．作为中考压轴题，本题涉及考点众多，计算复杂，因而难度很大，对考生综合能力要求很高，具有很好的区分度．