Question

15．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，C、D、E三点在同一条直线上，连接BD、BE，以下三个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°，其中正确的是①②③（填序号）

Answer 1

分析 ①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；
②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出结论；
③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出结论．

解答 解：①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE．故①正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°．
∴BD⊥CE；故②正确；
③∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确，
故答案为：①②③

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键．