【题目】点A(m,n)为直线y=-x+4上一动点,且满足-4<m<4,将O点绕点B 逆时针旋转90°得点C,连接AC,则线段AC长度的取值范围是____________.
【答案】2≤AC<10.
【解析】
首先证明点A在运动过程中,△ABC的形状相同,推出AB的值最大时,AC的值最大,AB的值最小时,AC的值最小,结合图形分别求出AB的最大值,最小值即可解决问题.
如图1中,
∵A(m,n),
∴点A关于原点对称点A′(-m,-n),
∴OA′的中点B(-,-);
∴OA=2OB=2BC,
∴tan∠CAB=,
∴点A在运动过程中,△ABC的形状相同,
∴AB的值最大时,AC的值最大,AB的值最小时,AC的值最小,
当点A的坐标为(-4,8)时,AB的值最大,
此时B(2,-4),
∴AB=,
∴BC=AB=2,
∴AC=.
如图2中,当直线AB⊥直线y=-x+4时,AB的值最小,此时直线AB的解析式为y=x,
由,
解得,
∴A(2,2),B(-1,-1),
∴AB=,
∴BC=AB=,
∴AC=,
综上所述,线段AC长度的取值范围是2≤AC<10,
故答案为2≤AC<10.
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【题目】如图,在一个可以自由转动的转盘中,指针位置固定,三个扇形的面积都相等,且分别标有数字1,2,3.
(1)小明转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针所指扇形中的数字是奇数的概率为________;
(2)小明先转动转盘一次,当转盘停止转动时,记录下指针所指扇形中的数字;接着再转动转盘一次,当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字,求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解)
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【题目】(问题情境)如图,中,,,我们可以利用与相似证明,这个结论我们称之为射影定理,试证明这个定理;
(结论运用)如图,正方形的边长为,点是对角线、的交点,点在上,过点作,垂足为,连接,
(1)试利用射影定理证明;
(2)若,求的长.
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【题目】如图所示,某产品的标志图案,要在所给的图形图中,把,,三个菱形通过一种或几种变换,使之变为与图一样的图案:
(1)请你在图中作出变换后的图案(最终图案用实线表示);
(2)你所用的变换方法是________(在以下变换方法中,选择一种正
确的填到横线上,也可以用自己的话表述).
①将菱形向上平移;
②将菱形绕点旋转;
③将菱形绕点旋转.
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【题目】星期天,小明和爸爸去大剧院看电影.爸爸步行先走,小明在爸爸离开家一段时间后骑自行车去,两人按相同的路线前往大剧院,他们所走的路程(米)和时间(分)的关系如图所示,则小明追上爸爸时,爸爸共走了_____________米.
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【题目】甲、乙、丙、丁四人做传球游戏:第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁的某一人,从第二次起,每一次都由持球者将球再随机传给其他三人的某一人.
(1)求第二次传球后球回到甲手里的概率.
(2)如果甲跟另外n(n≥2)个人做(1)同样的游戏,那么,第三次传球后球回到甲手里的概率是 .(请用含n的式子直接写结果).
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【题目】如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0 (n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数;
(2)已知a、b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,求的值;
(3)已知a、b、c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.
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【题目】中国古代有着辉煌的数学成就,《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献.
(1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读,求他选中《九章算术》的概率;
(2)小聪拟从这4部数学名著中选择2部作为假课外拓展学习内容,用列表或树状图求选中的名著恰好是《九章算术》和《周牌算经》的概率.
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【题目】如图,是的直径,、是弧(异于、)上两点,是弧上一动点,的角平分线交于点,的平分线交于点.当点从点运动到点时,则、两点的运动路径长的比是( )
A. B. C. D.
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