Question

已知：如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB+CD=BC，M是AD的中点．
求证：BM⊥CM．

Answer 1

解：如图所示，延长BM交CD的延长线于点E．
∵AB∥CD，
∴∠A=∠MDE（两直线平行，内错角相等）．
在△ABM和△DEM中，
∵∠A=∠MDE，AM=DM，∠AMB=∠DME，
∴△ABM≌△DEM（ASA）．
∴BM=EM，AB=DE（全等三角形的对应边相等）．
∵AB+CD=BC，
∴DE+DC=BC，即CE=CB．
又∵BM=ME，
∴CM⊥BM（三线合一）．
分析：作BM的延长线交CD的延长线于点E，根据题意可证，△ABM≌△DEM，又AB+CD=BC，且M是AD的中点，可证△BCE为等腰三角形，即得BM⊥CM．
点评：本题考查了判定三角形全等的定理以及线段常量的灵活计算，等腰三角形的中线，底边上的高和垂线互相重合的知识点．