Question

如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于点M，BD交CE于点N，交AE于点O，求证：
（1）∠AOB=120°；
（2）CM=CN；
（3）MN∥AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据等边三角形的性质得到AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，则可得到∠ACE=∠DCB，根据全等三角形的判定方法可得到△ACE≌△DCB，于是有∠CAM=∠CDN，由于∠ACD=DAC=∠BCE=∠CBE=60°，可得∠DCE=60°，则AD∥CE，DC∥BE，利用平行线的性质得到∠DAM=∠AEC，∠NDC=∠EBO，得出∠EBO=∠CAM，根据三角形的外角的性质即可求得；
（2）根据全等三角形的判定方法可得到△ACM≌△DCN，则CM=CN；
（3）根据等边三角形的判定方法即可得到△MCN为等边三角形，得出∠MNC=∠ECB=60°，根据内错角相等两直线平行得出MN∥AB．

解答：证明：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=CD ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=DAC=∠BCE=∠CBE=60°，∠ACB是一个平角，
∴∠DCE=60°，
∴AD∥CE，DC∥BE，
∵AD∥CE，
∴∠DAM=∠AEC，
∵DC∥BE，
∴∠NDC=∠EBO，
∴∠EBO=∠CAM
∴∠AOB=∠OEB+∠EBO=∠AEC+∠CEB+∠EBO=∠DAE+∠CEB+∠CAM=∠DAC+∠CEB=60°+60°=120°；
（2）在△ACM和△DCN中，

∠CAE=∠CDN CA=CD ∠ACM=∠DCN

，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN；
（3）∵CM=CN，∠DCE=60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠MNC=60°，
∴∠MNC=∠ECB=60°，
∴MN∥AB．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．