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11、已知n是正整数,且2n+1与3n+1都是完全平方数.是否存在n,使得5n+3是质数?如果存在,请求出所有n的值;如果不存在,请说明理由.
分析:设2n+1=k2,3n+1=m2,则5n+3转化为关于k、m的代数式的积,根据式子特点,得到5n+3是合数.
解答:解:如果2n+1=k2,3n+1=m2
则5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4k2-m2=(2k+m)(2k-m).
因为5n+3>(3n+1)+2=m2+2>2m+1,
所以2k-m≠1(否则5n+3=2k+m=2m+1).
从而5n+3=(2k+m)(2k-m)是合数.
点评:本题考查了完全平方数的应用,考查了因式分解法求值的应用,考查了分类讨论思想,本题中讨论2k-m与2k+m的值是解题的关键.
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