Question

已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
（1）求证：△ACB∽△CDB；
（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）由CP是⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB；
（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S_扇形OCB-S_△OCB=

1

6

π-

3

4

．

解答：（1）证明：如图，连接OC，

∵直线CP是⊙O的切线，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠BCD=∠ACO，
又∵∠BAC=∠ACO，
∴∠BCD=∠BAC，
又∵BD⊥CP
∴∠CDB=90°，
∴∠ACB=∠CDB=90°
∴△ACB∽△CDB；
（2）解：如图，连接OC，

∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，
∴∠COB=2∠BCP=60°，
∴△OCB是正三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴S_△OCB=

3

4

，S_扇形OCB=

60πr2

360

=

1

6

π，
故阴影部分的面积=S_扇形OCB-S_△OCB=

1

6

π-

3

4

．

点评：本题主要考查了切线的性质及扇形面积，三角形的面积，解题的关键是利用弦切角找角的关系．