Question

17．如图，在△ABC中，AC=5，∠C=60°，点D、E分别在BC、AC上，且CD=CE=2，将△CDE沿DE所在的直线折叠得到△FDE（点F在四边形ABDE内），连接AF，则AF的长为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作FG⊥AE于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，判定△CDE是边长为2的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△FDE也是边长为2的等边三角形，从而在Rt△EFG中，求得∠EFG=30°，GE=$\frac{1}{2}$EF=1，FG=$\sqrt{3}$，然后根据AC=5，求得AG，最后根据勾股定理得到AF的长．

解答 解：如图，作FG⊥AE于点G，
∵∠C=60°，CD=CE=2，
∴△CDE是边长为2的等边三角形，
∵将△CDE沿DE所在直线折叠得到△FDE，
∴△FDE也是边长为2的等边三角形，
∴FE=2，∠AEF=180°-60°-60°=60°，
∴Rt△EFG中，∠EFG=30°，
∴GE=$\frac{1}{2}$EF=1，FG=$\sqrt{3}$，
又∵AC=5，
∴AG=5-1-2=2，
∴Rt△AFG中，AF=$\sqrt{A{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解．