Question

17．如图，AD=2，AB=4，∠DAB=45°，BD=BC，BD⊥BC，则AC=6．

Answer 1

分析 如图，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F．首先求出DE、EB，再证明△EDB≌△FBC，推出BF=DE=$\sqrt{2}$，CF=EB=4-$\sqrt{2}$，推出AF=4+$\sqrt{2}$，在Rt△ACF中，根据AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$即可解决问题．

解答 解：如图，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F．

在Rt△ADE中，∵AD=2，∠DAE=45°，∠AED=90°，
∴AE=ED=$\sqrt{2}$，∵AB=4，
∴BE=4-$\sqrt{2}$，
∵∠DBC=90°，
∴∠DBE+∠EDB=90°，∠CBF+∠DBE=90°，
∴∠EDB=∠CBF，
在△EDB和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠CBF}\\{∠DEB=∠BFC=90°}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△FBC，
∴BF=DE=$\sqrt{2}$，CF=EB=4-$\sqrt{2}$，
∴AF=4+$\sqrt{2}$，
在Rt△ACF中，AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{（4+\sqrt{2}）^{2}+（4-\sqrt{2}）^{2}}$=6．
故答案为6．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．