Question

11．在平面直角坐标中，A为x轴上一点，过A点的直线L的解析式为y=kx-k（其中k为常数，且k≠0），B（3，m）为直线L上的另一点，C是y轴上一动点，过C点作直线L的平行线L′，连结AC，过B点作BD∥AC交于L′于D点．
（1）填空：A点坐标为（1，0），m=2k（用含k的代数式表示）；
（2）若k=$\frac{1}{6}$，C（0，6），探索四边形ABDC的形状，并证明；
（3）上下平移直线L′，当四边形ABDC为正方形时，求L′的解析式；
（4）在（3）的条件下，若点D在第一象限，在y轴上存在点P，使△APD是以AD为腰的等腰三角形，直接写出所有满足条件的P点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征确定A点坐标和求m的值；
（2）作BE⊥x轴于E，如图1，由于m=2k=$\frac{1}{3}$，则B（3，$\frac{1}{3}$），所以$\frac{BE}{AE}$=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{6}$，加上∠BEA=∠OAC，于是可判断△BAE∽△OCA，得到∠BAE=∠OCA，于是得到∠BAC=90°，然后利用CD∥AB，AC∥DB可判断四边形ABCD为矩形；
（3）分类讨论：当L向上平移得到L′时，如图2，作BE⊥x轴于E，作DF⊥y轴于F，通过证明△ABE≌△CAO得到BE=OA=1，AE=OC，则B（3，2k），所以AE=OC=2，2k=1，即k=$\frac{1}{2}$，则直线L的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
C（0，2），利用直线平移即可得到直线L′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2；当L向下平移得到L′时，同理可得直线L′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2；
（4）当L向上平移得到L′时，如图2，同样方法可证明△AOC≌△CFD，得到CF=OA=1，DF=OC=2，则D（2，3），设P（0，t），利用两点间的距离公式得到AD=$\sqrt{（2-1）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AP=$\sqrt{{1}^{2}+{t}^{2}}$，PD=$\sqrt{{2}^{2}+（3-t）^{2}}$，由于△APD是以AD为腰的等腰三角形，于是可分类讨论：当AP=AD时，有$\sqrt{{1}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{10}$，当DP=DA，有$\sqrt{{2}^{2}+（3-t）^{2}}$=$\sqrt{10}$，然后分别解关于t的方程得到t的值，从而可确定P点坐标．

解答 解：（1）当y=0时，kx-k=0，解得x=1，则A（1，0），
当x=3时，m=kx-k=3k-k=2k，
故答案为（1，0），2k；
（2）四边形ABDC是矩形．理由如下：
作BE⊥x轴于E，如图1，
m=2k=$\frac{1}{3}$，则B（3，$\frac{1}{3}$），
∵OC=6，OA=1，AE=2，BE=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{6}$，
而∠BEA=∠OAC，
∴△BAE∽△OCA，
∴∠BAE=∠OCA，
而∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠BAE+∠OAC=90°，
∴∠BAC=90°，
∵CD∥AB，AC∥DB，
∴四边形ABCD为矩形；

（3）当L向上平移得到L′时，如图2，作BE⊥x轴于E，作DF⊥y轴于F，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=AB，∠CAB=90°，
∴∠OAC+∠BAE=90°，
而∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠OCA=∠BAE，
在△ABE和△CAO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AOC}\\{∠OCA=∠BAE}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAO，
∴BE=OA=1，AE=OC，
∵B（3，2k），
∴AE=3-1=2，2k=1，即k=$\frac{1}{2}$，
∴OC=2，直线L的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴C（0，2），
∵直线L平移得到L′，
∴直线L′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2；
当L向下平移得到L′时，同理可得直线L′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2；
（4）当L向上平移得到L′时，如图2，同样方法可证明△AOC≌△CFD，
∴CF=OA=1，DF=OC=2，
∴D（2，3），
设P（0，t），
∵A（1，0），D（2，3），
∴AD=$\sqrt{（2-1）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AP=$\sqrt{{1}^{2}+{t}^{2}}$，PD=$\sqrt{{2}^{2}+（3-t）^{2}}$，
∵△APD是以AD为腰的等腰三角形，
∴当AP=AD时，即$\sqrt{{1}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{10}$，解得t₁=3，t₂=-3（此时点D、A、P共线，故舍去），则此时P点坐标为（0，3），
当DP=DA，即$\sqrt{{2}^{2}+（3-t）^{2}}$=$\sqrt{10}$，解得t₁=3+$\sqrt{6}$，t₂=3-$\sqrt{6}$，则此时P点坐标为（0，3+$\sqrt{6}$）或（0，3-$\sqrt{6}$），
综上所述，满足条件的P点坐标（0，3），（0，3+$\sqrt{6}$）或（0，3-$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查了一次函数综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、矩形的判定和正方形的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；会利用三角形全等证明线段相等；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；灵活运用分类讨论的思想解决数学问题．