Question

如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O₁和⊙O₂，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，分别连接O₁A、O₁B、O₂A、O₂B和AB．
（1）如图②，当∠AO₁B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；
（2）设∠AO₁B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）由（2），若y=2π，则线段O₂A所在的直线与⊙O₁有何位置关系，为什么？除此之外，它们还有其它的位置关系，写出其它位置关系时x的取值范围．（奖励提示：如果你还能解决下列问题，将酌情另加1～5分，并计入总分．）
在原题的条件下，设∠AO₁B的度数为2n，可以发现有些图形的面积S也随∠AO₁B变化而变化，试求出其中一个S与n的关系式，并写出n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据圆的对称性，该图形的周长是一条弧长的2倍，根据弧长公式计算；
（2）只需把圆心角换成x°即可计算；
（3）根据（2）中的关系式，计算出x的值，根据四边形的形状即可分析判定直线和圆的位置关系．

解答：解：（1）如图②由题意知
解法一：依对称性得，∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l=2×[

1

3

×（2π×2）]=

8π

3

，
解法二：∵O₁A=O₁B=O₂A=O₂B，
∴四边形AO₁BO₂是菱形，
∴∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l=2×

AO2B

的长=2×

120×π×2

180

=

8π

3

；

（2）由（1）知菱形AO₁BO₂中∠AO₂B=∠AO₁B，且度数都是x，
∴y=2×

x•π×2

180

，
得y=

π

45

x（0≤x≤180）；

（3）若y=2π，则线段O₂A所在直线与圆O₁相切，
因为y=2π，由（2）知

π

45

x=2π，
解得x=90，
∴∠AO₁B=90°，知菱形AO₁BO₂是正方形，
∴∠O₁AO₂=90°，即O₂A⊥O₁A，
而O₁A是圆O₁的半径，且点A为O₁A的外端，
∴线段O₂A所在的直线与圆O₁相切．
还有线段O₂A所在的直线与圆O₁相交，此时0≤x＜90和90＜x≤180，
如：扇形O₁AB的面积：S=

2n

360

π×22=

π

45

n（0≤n≤90）；
△O₁AB的面积：S=4sinn°cosn°（0≤n≤90）；
半重叠部分图形的面积：S=

π

45

n-4sinn°cosn°（0≤n≤90）．

点评：熟练运用弧长公式进行计算．熟悉切线的判定方法，能够根据直线和圆相切进一步讨论其它情况．