Question

9．如图，已知函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点A的坐标为（6，0），点M的横坐标为2，过点P（a，0），作x轴的垂线，分别交函数y=kx+b和y=x的图象于点C、D．
（1）求函数y=kx+b的表达式；
（2）若点M是线段OD的中点，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由点A的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可找出点M的坐标，结合点A的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；
（2）由PD⊥x轴可得出PC∥OB，根据平行线的性质可得出∠BOM=∠CDM，结合点M是线段OD的中点以及对顶角相等即可证出△MBO≌△MCD，根据全等三角形的性质即可得出OB=DC，由直线AB的解析式可得出OB的长度，再由点P的坐标即可得出点C、D的坐标，根据OB=DC即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a值．

解答 解：（1）∵点M的横坐标为2，点M在直线y=x上，
∴y=2，
∴点M的坐标为（2，2）．
把M（2，2）、A（6，0）代入到y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴函数的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
（2）∵PD⊥x轴，
∴PC∥OB，
∴∠BOM=∠CDM．
∵点M是线段OD的中点，
∴MO=MD．
在△MBO和△MCD中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠BOM=∠CDM}\\{MO=MD}\\{∠BMO=∠CMD}\end{array}\right.$，
∴△MBO≌△MCD（ASA），
∴OB=DC．
当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x+3=3，
∴OB=3，
∴DC=3．
当x=a时，y=-$\frac{1}{2}$x+3=-$\frac{1}{2}$a+3，y=x=a，
∴DC=a-（-$\frac{1}{2}$a+3）=$\frac{3}{2}$a-3=3，
∴a=4．

点评 本题考查了两条直线相交或平行的问题、平行线的性质、待定系数法求函数解析式以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）求出点M的坐标；（2）找出关于a的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．