Question

如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F。

（1） 求证：BP=DP；
（2） 如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
（3） 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP。
（2）是总成立
当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立。
（3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等
在图1中，可证四边形PECF为正方形，
在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC
从而有BE=DF。