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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)求四边形MEFN面积的最大值;
(3)试判断四边形MEFN能否为正方形?若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.

【答案】分析:(1)本题的关键是求梯形的高,可通过梯形两底的差和腰的长求出梯形的高,然后根据梯形的面积公式即可得出梯形ABCD的面积.
(2)可用二次函数来求解.可设四边形MEFN(其实是矩形)的面积为y,AE=BF=x,那么可根据AB的长表示出EF,然后根据相似三角形△AEM和△AGD得出的关于EM、GD、AE、AG的比例关系式用x表示出ME (也可用∠A的正切函数来求),然后根据矩形的面积公式即可得出y、x的函数关系式,根据函数的性质即可求出y的最大值也就是矩形MEFN的最大面积.
(3)若四边形MEFN为正方形,那么ME=EF,可据此确定x的值,然后将x的值代入(2)的函数式中即可求出正方形MEFN的面积.
解答:解:(1)分别过D,C两点作DG⊥AB于点G,CH⊥AB于点H.
∵AB∥CD,
∴DG=CH,DG∥CH.
∴四边形DGHC为矩形,GH=CD=1.
∵DG=CH,AD=BC,∠AGD=∠BHC=90°,
∴△AGD≌△BHC(HL).
∴AG=BH=
∵在Rt△AGD中,AG=3,AD=5,
∴DG=4.
∴S梯形ABCD==16.

(2)∵MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,
∴ME=NF,ME∥NF.
∴四边形MEFN为矩形.
∵AB∥CD,AD=BC,
∴∠A=∠B.
∵ME=NF,∠MEA=∠NFB=90°,
∴△MEA≌△NFB(AAS).
∴AE=BF.
设AE=x,则EF=7-2x.
∵∠A=∠A(公共角),∠MEA=∠DGA=90°,
∴△MEA∽△DGA.

∴ME=
∴S矩形MEFN=ME•EF=x(7-2x)=-(x-2+
当x=时,ME=<4,
∴四边形MEFN面积的最大值为

(3)能.
由(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=x.
若四边形MEFN为正方形,则ME=EF.
=7-2x.
解得x=
∴EF=7-2x=7-2×=<4.
∴四边形MEFN能为正方形,其面积为S正方形MEFN=(2=
点评:本题考查了等腰梯形的性质,矩形的性质,正方形的判定,相似三角形的性质以及二次函数的应用等知识点.综合性较强,考查学生数形结合的数学思想方法.
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11、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD交于点O,则S△AOD
=
S△BOC.(填“>”、“=”或“<”)

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38.4

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