Question

如图1，已知直线与y轴交于点A，抛物线经过点A，其顶点为B，另一抛物线的顶点为D，两抛物线相交于点C

（1）求点B的坐标，并说明点D在直线的理由；
（2）设交点C的横坐标为m
①交点C的纵坐标可以表示为：        或        ，由此请进一步探究m关于h的函数关系式；
②如图2，若，求m的值.

Answer 1

（1）B（1，1），详见解析；（2）①（m-1）²+1或（m-h）²-h+2，；②

试题分析：（1）首先求得点A的坐标，然后求得点B的坐标，用h表示出点D的坐标后代入直线的解析式验证即可；（2）根据两种不同的表示形式得到m和h之间的函数关系即可；过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F，证得△ACE∽△CDF，然后用m表示出点C和点D的坐标，根据相似三角形的性质求得m的值即可．
试题解析：（1）当x=0时候，y=-x+2=2，
∴A（0，2），
把A（0，2）代入，得1+k=2
∴k=1，
∴y=（x-1）²+1，
∴B（1，1）
∵D（h，2-h）
∴当x=h时，y=-x+2=-h+2=2-h
∴点D在直线l上；
（2）①（m-1）²+1或（m-h）²-h+2
由题意得（m-1）²+1=（m-h）²-h+2，
整理得2mh-2m=h²-h
∵h＞1
∴；
②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F

∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠CDF
又∵∠AEC=∠DFC
∴△ACE∽△CDF
∴
又∵C（m，m²-2m+2），D（2m，2-2m），
∴AE=m2-2m，DF=m2，CE=CF=m
∴
∴，解得
∵h＞1
∴
∴.