Question

【题目】用四个长为m，宽为n的相同长方形按如图方式拼成一个正方形．

（1）根据图形写出一个代数恒等式：　 　；

（2）已知3m+n＝9，mn＝6，试求3m﹣n的值；

（3）若m+n＝1，求m2+n2的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）45；（3）m2+n2的最小值为．

【解析】

（1）直接用阴影正方形边长的平方可求阴影面积，用大正方形面积减四个小长方形的面积可求阴影面积，可得等量关系；

（2）先根据完全平方公式变形，然后代入计算；

（3）由m2+n2=（1-n）2+n2=2（n-）2+≥，可求m2+n2的最小值．

（1）∵直接用阴影正方形边长的平方可求阴影面积＝（m﹣n）2，用大正方形面积减四个小长方形的面积可求阴影面积＝（m+n）2﹣4mn，

∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；

（2）∵（3m﹣n）2＝（3m+n）2﹣6mn，

∴（3m﹣n）2＝81﹣36＝45；

（3）∵m+n＝1，

∴m＝1﹣n，

∴m2+n2＝（1﹣n）2+n2＝1+2n2﹣2n＝2（n﹣）2+≥，

∴m2+n2的最小值为．