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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图所示，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的直角边OB，OA分别在x轴上和y轴上，其中OA=2精英家教网，OB=4，现将Rt△AOB绕着直角顶点O按逆时针方向旋转90°得到△COD，已知一抛物线经过C、D、B三点．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）连接DB，P是线段BC上一动点（P不与B、C重合），过点P作PE∥BD交CD于E，则当△DEP面积最大时，求PE的解析式；
    （3）作点D关于此抛物线对称轴的对称点F，连接CF交对称轴于点M，抛物线上一动点R，x轴上一动点Q，则在抛物线上是否存在点R，x轴上是否存在点Q，使得以C、M、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据旋转的性质，易求得OC、OD的长，即可得出C、D的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
    （2）过E作x轴的垂线，设垂足为H；可设出P点坐标，根据△CPE∽△CBD得出的对应高和对应边的比，求出EH的表达式，即可得出关于△CEP的面积和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出P、E坐标，进而可用待定系数法求出直线PE的解析式．
    （3）此题要分两种情况讨论：①以CM为边，②以CM为对角线；可根据平行四边形的性质得出Q点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出Q点坐标．
    解答：精英家教网解：（1）∵△COD≌△AOB
    ∴OC=OA，OD=OB
    ∴OC=2，OD=4
    ∴C（-2，0）D（0，4）B（4，0）
    ∴设此抛物线的解析式y=ax2+bx+4（a≠0）
    将C（-2，O）B（4，0）代入
    4a-2b+4=0
    16a+4b+4=0

    ∴
    a=-
    1
    2
    b=1

    ∴抛物线的解析式为：y=-
    1
    2
    x2+x+4    （4分）

    精英家教网（2）过E作EH⊥x轴，
    ∵S△DEP=S△DCP-S△ECP
    =
    1
    2
    CP•OD-
    1
    2
    CP•EH
    =
    1
    2
    CP（OD-EH）
    设点P（m，0）
    ∵P在BC之间运动
    ∴CP=m+2
    ∵PE∥BD
    ∴△CEP∽△CDB
    ∴
    EH
    OD
    =
    CP
    BC

    ∴
    EH
    4
    =
    m+2
    6

    ∴EH=
    2m+4
    3

    ∴S△DEP=
    1
    2
    (m+2)(4-
    2m+4
    3
    )
    =-
    1
    3
    (m-1)2+3    （6分）
    ∴当m=1时，S△DEP有最大值为3，此时P（1，0）（7分）
    又∵D（0，4）
    又设BD的解析式y=kx+4（k≠0）
    将B（4，0）代入0=4k+4
    k=-1
    ∴BD：y=-x+4
    ∵PE∥BD
    ∴设PE：y=-x+b，
    将P（1，0）代入
    即0=-1+b，
    解得b=1
    ∴PE的解析式为：y=-x+1；（8分）

    （3）存在
    ∵D（0，4）F（2，4）
    CF：y=x+2
    ∴M（1，3）
    若以CM为边
    在y=-
    1
    2
    x2+x+4    中令y=3
    解得：x1=1+
    		3
    ，x2=1-
    		3

    ∴Q1（-2+
    		3
    ，0）Q2（-2-
    		3
    ，0）（10分）
    令y=-3，-
    1
    2
    x2+x+4=-3
    解得：x1=1+
    		15
    ，x2=1-
    		15

    Q3（4+
    		15
    ，0）Q4（4-
    		15
    ，0）（12分）
    若以CM为对角线，Q5与Q1重合
    ∴共有四个点Q．
    点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质等知识．综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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    9x
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    （1）在图中标出点M，N的位置，并分别写出点M，N的坐标：
     
    ．
    （2）请你依次连接M、N和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；
    （3）猜想一下，经过第2009次跳动之后，棋子将落到什么位置．

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    ．

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    （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
    （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
    （3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，请直接写出P'点坐标，并判断点P'是否在该抛物线上．

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