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如图,已知二次函数图象的顶点为原点,直线y=
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x+4的图象与该二次函数的图象交于A点(8,8),直线与x轴的交点为C,与y轴的交点为B.
(1)求B点的坐标与这个二次函数的解析式;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P点作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点,与x轴交于点E.设该线段PD的长为h,点P的横坐标为t,求h与t之间的函数解析式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、D、B为顶点的三角形与△B精英家教网OC相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据二次函数的顶点为原点,得出二次函数的一般解析式y=ax2,将(8,8)代入即可;
(2)直接表示出PE与DE的长度从而得出PD的长,即可得出解析式;
(3)分别为当∠PDB=∠BOC=90°时与当∠PDB=∠BOC=90°时,利用相似三角形的判定与性质求出即可.
解答:解:(1)令x=0,代入y=
1
2
x+4

∴y=4,
∴B(0,4).
设y=ax2,把(8,8)代入得:82•a=8,
a=
1
8

y=
1
8
x2


(2)∵点P的横坐标为t,
PE=
1
2
t+4;DE=
1
8
t2

PD=PE-DE=
1
2
t+4-
1
8
t2

h=-
1
8
t2+
1
2
t+4(0<t<8)



(3)存在,
①当∠PDB=∠BOC=90°时,精英家教网
∴BD∥CE,
∴∠PBD=∠BCO.
∴△PDB∽△BOC,
PD
BO
=
BD
CO

令y=
1
2
x=4=0,得x=-8,
∴C(-8,0),
∴CO=8.
-
1
8
t2+
1
2
t+4
4
=
t
8

化简得:t2=32.
解得:t1=4
2
t2=-4
2
<0
(不合题意,舍去).
t1=4
2
代入y=
1
2
x+4

y=2
2
+4

∴点P的坐标为(4
2
,2
2
+4)

②当∠PBD=∠BOC=90°时,
∵PD∥BO,∴∠DPB=∠CBO.
∴△PBD∽△BOC.
过点D作DF⊥OB,
∵∠DPB+∠PDB=90°,∠BDF+∠PDB=90°,
∴∠BDF=∠DPB=∠CBO.
∵∠BFD=∠COB,
△DFB∽△BOC,
BF=BO-OF=4-
1
8
t2

DF
BO
=
BF
CO
精英家教网
t
4
=
4-
1
8
t2
8

化简得:t2+16t-32=0.
解得:t1=-8+4
6
t2=-8-4
6
<0
(不合题意,舍去)
t1=-8+4
6
代入y=
1
2
x+4

得:y=2
6

∴P点的坐标为(-8+4
6
,2
6
)

∴当P点的坐标为(-8+4
6
,2
6
)
(4
2
,2
2
+4)

以点P.D.B为顶点的三角形与△BOC相似.
点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定等知识,熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.
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精英家教网如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.
(1)求m的值及这个二次函数的关系式;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(2012•高淳县一模)如图,已知二次函数y=-
1
2
x2+mx+3的图象经过点A(-1,
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2
).
(1)求该二次函数的表达式,并写出该函数图象的顶点坐标;
(2)点P(2a,a)(其中a>0),与点Q均在该函数的图象上,且这两点关于图象的对称轴对称,求a的值及点Q到y轴的距离.

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(1)求该二次函数的关系式;
(2)结合图象,解答下列问题:
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(1)求二次函数的解析式;
(2)求l与x之间的函数关系式,并求出l的取值范围;
(3)线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,已知二次函数y=(x-1)2的图象的顶点为C点,图象与直线y=x+m的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.
(1)求m的值;
(2)点P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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