Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠BAD=3∠CAD，∠ADC=30°，求证：∠DBC=30°．

Answer 1

分析 在∠BAC的平分线上截取AE=AC，连接BE、CE、DE；由已知条件得出∠CAD=∠EAD，由SAS证明△ABE≌△ACE，得出BE=CE，再由SAS证明△ACD≌△AED，得出CD=ED，∠ADC=∠ADE=30°，证出△CDE是等边三角形，得出∠CED=60°，DE=CE=BE，得出点E为△BCD的外心，由圆周角定理即可得出结论．

解答 证明：在∠BAC的平分线上截取AE=AC，连接BE、CE、DE；如图所示：
∵∠BAD=3∠CAD，∠BAE=∠CAE，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ABE和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAE=∠CAE}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE，
在△ACD和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}&{\;}\\{∠CAD=∠EAD}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=ED，∠ADC=∠ADE=30°，
∴∠CDE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CED=60°，DE=CE=BE，
∴点E为△BCD的外心，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠CED=60°．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；本题有一定难度，通过构造全等三角形证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．