Question

如图，P为等腰Rt△ABC外一点，∠BAC=90°，连PB、PC、PA，PA交BC于E点，且∠APC=45°，下列结论：
①∠BPA=45°．②

S△ABE

S△ACE

=

PB

PC

．③PB+PC=

2

PA．
其中正确的是（　　）

• A、①
• B、①②
• C、②
• D、①②③

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：求出∠ABC=∠APC，即推出A、B、P、C四点共圆，根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠APB的度数；求出△BAE∽△PAB，推出

BE

BP

=

AB

AP

，证△CAE∽△PAC，推出

CE

PC

=

AC

AP

，推出

BP

CP

=

BE

CE

，根据三角形的面积公式即可求出②正确；过A作AD⊥PA，AD交PB的延长线于D，证△ADB≌△APC，推出PC=BD，AD=AP，得出△DAP是等腰直角三角形，由勾股定理求出DP=

2

AP，即可推出③正确．

解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠APC=45°，
∴∠ABC=∠APC，
即A、B、P、C四点共圆，
∴∠APB=∠ACB=45°，
∴①正确；
∵∠APB=∠ABC=45°，∠BAE=∠PAB，
∴△BAE∽△PAB，
∴

BE

BP

=

AB

AP

，
同理可证△CAE∽△PAC，
∴

CE

PC

=

AC

AP

，
∵AB=AC，
∴

BE

BP

=

CE

PC

，
即

BP

CP

=

BE

CE

，
∵△ABE的边BE上的高和△ACE的边CE上的高相同，设高为h，
∴

S△ABE

S△ACE

=

1 2 ×BE×h

1 2 ×CE×h

=

BE

CE

=

BP

PC

，
∴②正确；
过A作AD⊥PA，AD交PB的延长线于D，
∵∠BAC=90°，AD⊥PA，
∴∠DAP=90°=∠BAC，
∴∠1+∠2=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠4=∠ACP，
在△ADB和△APC中

∠1=∠3 AB=AC ∠4=∠ACP

，
∴△ADB≌△APC（ASA），
∴PC=BD，AD=AP，
∴△DAP是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DP=

AP2+AP2

=

2

AP，
∵DP=BP+BD=BP+PC，
即PB+PC=

2

PA，
∴③正确；
故选D．

点评：本题考查了圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰直角三角形等知识点的综合运用，题目综合性比较强，难度偏大．