Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是

AD

的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD
（1）求证：∠ACH=∠CBD；
（2）求证：P是线段AQ的中点；
（3）若⊙O 的半径为5，BH=8，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理得出AB垂直平分CE，推出H为CE中点，弧AC=弧AE，根据圆周角定理推出即可．
（2）根据圆周角定理求出∠ACH=∠CAD，推出AP=CP，求出∠PCQ=∠CQP，推出PC=PQ，即可得出答案．
（3）连接OC，根据勾股定理求出CH，根据垂径定理求出即可．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴AB垂直平分CE，
即H为CE中点，弧AC=弧AE
又∵C是

AD

的中点，
∴弧AC=弧CD
∴弧AC=弧CD=弧AE
∴∠ACH=∠CBD；

（2）由（1）知，∠ACH=∠CBD，
又∵∠CAD=∠CBD
∴∠ACH=∠CAD，
∴AP=CP
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠PCQ=90°-∠ACH，∠PQC=∠BQD=90°-∠CBD，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，
即P是线段AQ的中点；

（3）解：连接OC，
∵BH=8，OB=OC=5，
∴OH=3
∴由勾股定理得：CH=

52-32

=4
由（1）知：CH=EH=4，
∴CE=8．

点评：本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．