Question

已知反比例函数和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+2，b+k）两点．

（1）求：反比例函数的解析式．

（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两函数的图象上．求点A的坐标．

（3）利用（2）的结果，问在x轴上是否存在点P，使得△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标直接写出来；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：

反比例函数综合题．

分析：

（1）先把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得到，然后结果代数式变形可解得k=4，则可确定反比例函数解析式；

（2）把一次函数与反比例函数解析式组成方程组，再解方程组可确定A点坐标；

（3）先利用勾股计算出OA=，过A点作AP₁⊥x轴，则△OAP₁为等腰三角形；作点O关于AP₁的对称点P₂，则△OAP₂为等腰三角形；以O点为圆心，OA为半径画弧交x轴与P₃，P₄，则△OAP₃、△OAP₄为等腰三角形；然后利用线段长分别确定各点坐标．

解答：

解：（1）把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得，解得k=4，

所以反比例函数解析式为y=；（2）解方程组得或，

∵A点在第一象限，

∴点A的坐标为（1，1）；（3）存在．

OA==，

满足条件的点P坐标为（ 1，0）、（2，0）、（，0）、（﹣，0）．

点评：

本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定与性质；运用分类讨论的思想解决问题．