【题目】已知,在△ABC和△EFC中,∠ABC=∠EFC=90°,点E在△ABC内,且∠CAE+∠CBE=90°
(1)如图1,当△ABC和△EFC均为等腰直角三角形时,连接BF,
①求证:△CAE∽△CBF;
②若BE=2,AE=4,求EF的长;
(2)如图2,当△ABC和△EFC均为一般直角三角形时,若=k,BE=1,AE=3,CE=4,求k的值.
【答案】(1)①见解析;②2;(2)
【解析】
(1)①先判断出∠BCF=∠ACE,再判断出,即可得出结论;
②先判断出∠CBF=∠CAE,进而判断出∠EBF=90°,再求出BF=2,最后用勾股定理求解即可得出结论;
(2)先判断出∠BCF=∠ACE,再判断出,进而判断出△BCF∽△ACE,进而表示出BF=,再表示出EF=,最后用勾股定理得,BE2+BF2=EF2,建立方程求解即可得出结论.
解:(1)①∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形,
∴∠ECF=∠ACB=45°,
∴∠BCF=∠ACE,
∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形,
∴CE=CF,AC=CB,
∴=,
∴,
∴△BCF∽△ACE;
②由①知,△BCF∽△ACE,
∴∠CBF=∠CAE,=,
∴BF=AE=×4=,
∵∠CAE+∠CBE=90°,
∴∠CBF+∠CBE=90°,
即:∠EBF=90°,
根据勾股定理得,EF=;
(2)如图(2),连接BF,
在Rt△ABC中,tan∠ACB==k,
同理,tan∠ECF=k,
∴tan∠ACB=tan∠ECF,
∴∠ACB=∠ECF,
∴∠BCF=∠ACE,
在Rt△ABC中,设BC=m,则AB=km,
根据勾股定理得,AC=;
在Rt△CEF中,设CF=n,则EF=nk,同理,CE=,
∴,,
∴,
∵∠BCF=∠ACE,
∴△BCF∽△ACE,
∴∠CBF=∠CAE,
∵∠CAE+∠CBE=90°,
∴∠CBF+∠CBE=90°,
即:∠EBF=90°,
∵△BCF∽△ACE,
∴
∴BF=AE=
∵CE=4,
∴,
∴n=,
∴EF=,
在Rt△EBF中,根据勾股定理得,BE2+BF2=EF2,
∴12+()2=()2,
∴k=或k=(舍),
即:k的值为.
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【题目】如图,已知ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,BC=m,E为BC边上的动点,连结AE,作点B关于直线AE的对称点F.
(1)若m=6,①当点F恰好落在∠BCD的平分线上时,求BE的长;
②当E、C重合时,求点F到直线BC的距离;
(2)当点F到直线BC的距离d满足条件:2﹣2≤d≤2+4,求m的取值范围.
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【题目】(7分)某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“,为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取整数,满分为100分)作为样本进行统计,并制作了如图频数分布表和频数分布直方图(不完整且局部污损,其中“■”表示被污损的数据).请解答下列问题:
成绩分组 | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 8 | 0.16 |
60≤x<70 | 12 | a |
70≤x<80 | ■ | 0.5 |
80≤x<90 | 3 | 0.06 |
90≤x≤100 | b | c |
合计 | ■ | 1 |
(1)写出a,b,c的值;
(2)请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分;
(3)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动,求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
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【题目】如图,已知矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm.动点P在边BC上从点B向C运动,速度为1cm/s;同时动点Q从点C出发,沿折线C→D→A运动,速度为2cm/s.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动。设点P运动的时间为t(s),△BPQ的面积为S(cm2),则描述S(cm2)与时间t(s)的函数关系的图象大致是( )
A.B.
C.D.
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【题目】问题情境:如图①,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,可以发现PA是点P到⊙O上的点的最短距离.
(1)直接运用:如图②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧CD上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是 .
(2)构造运用:如图③,在边长为8的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连接A′C,请求出A′C长度的最小值.
(3)综合运用:如图④,平面直角坐标系中,分别以点A(﹣2,3),B(3,4)为圆心,分别以1、2为半径作⊙A、⊙B,M、N分别是⊙A、⊙B上的动点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值等于 .
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,过点A作直线MN,且∠MAC=∠ABC.
(1)求证:MN是⊙O的切线.
(2)设D是弧AC的中点,连结BD交AC于点G,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F.
①求证:FD=FG.
②若BC=3,AB=5,试求AE的长.
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【题目】为倡导“低碳生活”,常选择以自行车作为代步工具.如图1所示是一辆自行车的实物图,车架档AC与CD的长分别为45cm,60cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20cm,车轮半径28cm,点A,C,E在同一条直线上,且∠CAB=75°,如图2
图1 图2
(1)求车座点E到地面的距离;(结果精确到1cm)
(2)求车把点D到车架档直线AB的距离.(结果精确到1cm).
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【题目】为了了解班级学生数学课前预习的具体情况,郑老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查,他将调查结果分为四类:A:很好;B:较好;C:一般;D:不达标,并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:
(1)C类女生有 名,D类男生有 名,将上面条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是 ;
(3)为了共同进步,郑老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习,请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率,
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点 A 和点 C 分别在x 轴和 y 轴的正半轴上,OA=6,OC=4,以 OA,OC 为邻边作矩形 OABC, 动点 M,N 以每秒 1 个单位长度的速度分别从点 A、C 同时出发,其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动,点 N沿 CB 向终点 B 运动,当两个动点运动了 t 秒时,过点 N 作NP⊥BC,交 OB 于点 P,连接 MP.
(1)直接写出点 B 的坐标为 ,直线 OB 的函数表达式为 ;
(2)记△OMP 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式;并求 t 为何值时,S有最大值,并求出最大值.
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